量化投资入门系列（三）——CAPM与风险¶

在进入alpha策略的讲解之前，首先讲一下CAPM和风险的概念，因为收益可以看做是对我们所承担的风险的回报，所以对于风险的有效定义是我们获取稳定收益的前提，任何时候，都不能忽略了对于风险的控制。

CAPM（capital asset pricing model，资本资产定价模型）¶

在正式进入CAPM的讨论之前，我们可以先看这样一个例子：对于一个组合p，和对应的市场组合m，我们可以计算两者在历史上的超额收益率（以下如无特别说明，均指相对于无风险收益率），并且得到两条时间序列 \( r_p(t) \) 和 \( r_m(t) \) ，对两者进行回归，可以构建以下的方程：

\( r_p(t)=\beta_pr_m(t)+\delta_p(t) \) 其中 \( \delta_p(t) \) 为超额收益率的残差。

通过该公式，我们可以将任意组合的超额收益率分解为市场部分和残差部分。

而从数学上，\( \beta \) 也可以由下述的公式来定义，两者是等价的：

需要注意的是，这里的 \( \beta \) 是通过历史统计得到的，而随着市场环境等的变化， 可能发生改变，这意味着我们不能通过 直接对未来的超额收益率进行预估，但是历史值仍然有助于我们对未来的 做出一定的预测，而预测未来 的能力也决定了我们进行收益分解的效果，这部分有众多研究者都开展了相关的工作，在这里我们可以暂且假设我们所预估的 是准确的，那么我们的预期超额收益率可以表述为：

\( E(r_p-r_f)=\beta_p(r_m-r_f)+E(\delta_p) \) 其中 \( r_f \) 为无风险收益率。

接下来，我们还需要做出一个重要的假设： 任何一个股票或组合的预期残差收益率等于零 ，即：\( E(\delta_p)=0 \)

在这个假设下，我们可以将原本公式中的残差项消除，从而将公式改写成以下的形式：

至此，我们已经获得了CAPM中最重要的公式。

而如同我们的假设中所提到的，在CAPM模型中，任何组合的预期残差收益率都等于0。这就意味着对于任意组合，其预期的超额收益率完全由市场的超额收益率和 \( \beta \) 决定。换句话说，投资者通过调整组合的 ，可以控制自己所需要承担的市场风险的程度，因此承担这部分风险可以获取相应的收益，而如果投资者通过主动管理的方式去承担残差风险，这部分风险并不会为投资者带来与风险相匹配的收益。因此我们可以得到另一个重要的推论： 被动投资是最优的 。

在CAPM的框架中，投资者是无法战胜市场的，持有与市场组合所不同的组合无法带来额外的预期收益，这看似与我们做量化投资的思想是矛盾的，但是并不意味着CAPM对于我们来说是没有价值的，无论CAPM的假设是否合理（事实上其对于预期残差收益率为0的假设是极具争议的），其都为我们提供了一个投资基准，我们可以把CAMP框架下所认为的最优组合（即市场组合）的预期收益率作为我们进行主动投资的基准，我们可以专注于残差收益率的研究上，并将我们在残差收益率上的最终收益作为我们进行主动投资的评价标准。

风险计量¶

风险本身是一个极为抽象的概念，其表征了我们预期收益率的不确定性。需要首先提出的一个理念是，风险本身并不是一件坏的事情，因为如果不选择承担更高的风险，我们就无法获得更高的收益，收益本身就是对投资者所承担的风险的回报。换句话说，在投资的过程中，亏损本身并不是风险，是否会亏损的不确定性才是风险。

在投资组合的管理过程中，已经有了丰富的风险度量指标可供参考：

波动率： 波动率指的是收益率的标准差，是由马科维茨所提出的风险的定义，也是业界使用最为广泛的风险定义。

半方差 ：半方差，又称下行风险，其与方差的定义较为接近，差别在于在半方差的计算中，只选择低于均值的一部分数据来进行计算。如果持有的是空头，那么就选用高于均值的部分计算，就是上行风险。

目标半方差 ：有了半方差的概念，目标半方差就相对容易理解了，目标半方差的计算中选择的是低于某一特定值的样本所计算出的。

损失概率 ：损失概率的定义为收益率落在目标值以下概率。

在险价值（VaR）： 在险价值是一个很重要的风险定义，是风险管理中的一个重要的指标，其定义为就是给定一个目标概率, 估计在市场变动中与该概率所对应的可能的最大损失，具体的计算方式我们以一个例子来进行说明：

对于一个资产，假设其现价为S，日波动率为 \( \sigma \) ，假设资产服从正态分布，我们考虑在99%的置信度下，资产在N天的在险价值，具体的计算公式如下：

式中-2.33为是通过在Z-score表中查表获得，99%对应的为-2.33，95%对应的是-1.64

分散风险

通常而言，进行分散的持仓有助于我们降低风险，但是由于标准差不具备组合属性，我们需要计算各个资产之间的相关性，而当资产的数目较大时，我们将面临巨大的计算量，而在这一点上，APT（套利定价理论）则具备天然的优势，我们将在下一节中进行介绍。

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作者: 李浩然 华泰证券 算法工程师
来源： https://zhuanlan.zhihu.com/p/397960542