向量内积外积的几何意义¶
向量的内积（点乘）¶
定义¶
概括地说，向量的 内积 （点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：
\( a=[a_1, a_2, a_3,..., a_n] \)
\( b=[b_1, b_2, b_3,..., b_n] \)
a和b的点积公式为：
\( a \cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n \)
这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。 注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)
定义 ：两个向量 a 与 b 的内积为 a · b = | a || b |cos∠(a, b)，特别地， 0 · a = a · 0 = 0；若 a ， b 是非零向量，则 a 与 b正交 的充要条件是 a · b = 0。
向量内积的性质：¶
- \( a^{2}≥0 \)；\( a^{2}=0 \)时，必有 a = 0. （正定性）
- a · b = b · a （对称性）
- (λ a + μ b )· c = λ a · c + μ b · c ，对任意实数λ, μ成立. （线性）
- cos∠( a , b ) = a · b /(| a || b |).
- | a · b | ≤ | a || b |，等号只在 a 与 b 共线时成立.
向量内积的几何意义¶
内积（点乘）的几何意义包括：
- 表征或计算两个向量之间的夹角
- b向量在a向量方向上的投影
有公式：
\( \vec a \cdot \vec b= |a||b|\cos \Theta \)
推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量 c ：\( c=a-b \)
根据三角形余弦定理（这里a、b、c均为向量，下同）有：\( c^{2}=a^{2}+b^{2}-2|a||b| \cos \Theta \)
根据关系 c = a - b 有：
\( (a-b) \cdot (a-b)=a^{2}+b^{2}-2a \cdot b=a^{2}+b^{2}-2|a||b| \cos \Theta \)
即：
a∙b=|a||b|cos(θ)
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
θ=arccos(a∙b/|a||b|)
进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：
a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a∙b=0→ 正交，相互垂直
a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
向量的外积（叉乘）¶
定义¶
概括地说，两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个 向量 而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
定义 ：向量 a 与 b 的外积 a × b 是一个向量，其长度等于| a × b | = | a || b |sin∠( a , b )，其方向正交于 a 与 b 。并且，( a , b , a × b )构成右手系。
特别地， 0 × a = a × 0 = 0.此外，对任意向量 a ， a × a = 0 。
对于向量a和向量b：
\( a=(x_1, y_1, z_1) \)
\( b=(x_2, y_2, z_2) \)
a和b的外积公式为：
其中：
\( i=(1,0,0) \) \( j=(0,1,0) \) \( k=(0,0,1) \)
根据i、j、k间关系，有：
\( a \times b=(y_1z_2-y_2z_1, -(x_1z_2-x_2z_1), x_1y_2-x_2y_1) \)
向量外积的性质¶
- a × b = - b × a. （反称性）
- (λ a + μ b ) × c = λ( a × c ) + μ( b × c ). （线性）
向量外积的几何意义¶
在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是 法向量 ，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：| a × b |在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
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作者: simple0914
来源： https://zhuanlan.zhihu.com/p/348308540