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Numpy中矩阵计算模块linalg的常用函数

numpy linalg 模块

线性代数

numpy.linalg 模块包含线性代数的函数。使用这个模块，可以计算矩阵逆、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。

import numpy as np

1.计算矩阵

创建矩阵

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A = np.mat('0 1 2;1 0 3;4 -3 8')
print(A)
#[[0 1 2]]
#[[1 0 3]]
#[[4 -3 8]]

使用inv函数计算逆矩阵

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inv = np.linalg.inv(A)
print(inv)
#[[-4.5 7. -1.5 ]]
#[-2. 4. -1.]
#[1.5 -2.  0.5]]

2.求解线性方程组

numpy.linalg 中的函数 solve 可以求解形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 为矩阵，b 为一维或二维的数组，x 为未知变量。

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#创建矩阵和数组
B = np.mat('1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9')
b = np.array([0,8,-9])

#调用 solve 函数求解线性方程
x = np.linalg.solve(B,b)
print(x)
#out:[29. 16. 3]

#使用 dot 函数检查求得的解是否正确
print(np.dot(B,x))
#out:[[0. 8. -9.]]

3.特征值和特征向量

特征值 ( eigenvalue ) 即方程 Ax = ax 的根，是一个标量。其中，A 是一个二维矩阵，x 是一个一维向量。特征向量（eigenvector）是关于特征值的向量

numpy.linalg模块中，eigvals函数可以计算矩阵的特征值，而eig函数可以返回一个包含特征值和对应的特征向量的元组

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import numpy as np

#创建一个矩阵
C = np.mat('3 -2;1 0')

#调用eigvals函数求解特征值
c0 = np.linalg.eigvals(C)
print(c0)
#out:[2. 1.]

使用 eig 函数求解特征值和特征向量（该函数将返回一个元组，按列排放着特征值和对应的特征向量，其中第一列为特征值，第二列为特征向量）

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import numpy as np

# 求特征变量和特征值
C = np.mat('3 -2;1 0')

#调用eigvals函数求解特征值
c0 = np.linalg.eigvals(C)
print('特征值',c0)

c1,c2 = np.linalg.eig(C)  #传入两个变量, 返回第一列是特征值，第2列是特征向量
# 特征值 [2. 1.]

print('特征值',c1)
print('特征向量:按列\n',c2)
for i in range(len(c1)):
    print('A*x',np.dot(C,c2[:,i]))
    print('= lamda*x',c1[i] * c2[:,i])

# 验算
print("C:", c2 * np.diag(c1) * np.linalg.inv(c2))

奇异值分解

SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是一种因子分解运算，将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积

numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Singma和V，其中U和V是正交矩阵，Sigma包含输入矩阵的奇异值

函数：np.linalg.svd(a,full_matrices=1,compute_uv=1)。

参数：

  • a是一个形如(M,N)矩阵
  • full_matrices的取值是为0或者1，默认值为1，这时u的大小为(M,M)，v的大小为(N,N) 。否则u的大小为(M,K)，v的大小为(K,N) ，K=min(M,N)。
  • compute_uv的取值是为0或者1，默认值为1，表示计算u,s,v。为0的时候只计算s。

返回值：

总共有三个返回值u,s,v u大小为(M,M)，s大小为(M,N)，v大小为(N,N)。

A = u * s * v

其中s是对矩阵a的奇异值分解。s除了对角元素不为0，其他元素都为0，并且对角元素从大到小排列。s中有n个奇异值，一般排在后面的比较接近0，所以仅保留比较大的r个奇异值。

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import numpy as np

#分解矩阵
D = np.mat('4 11 14;8 7 -2')

#使用svd函数分解矩阵
U,Sigma,VT = np.linalg.svd(D,full_matrices=False)
print("U:",U)
#U:[[-0.9486833 -0.31622777]
#[-0.31622777 0.9486833 ]]

print("Sigma:",Sigma)
#Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]

print ("VT",VT)
#V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]

#使用diag函数生成完整的奇异值矩阵。将分解出的3个矩阵相乘
print(U * np.diag(Sigma) * VT)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]

广义逆矩阵

使用numpy.linalg模块中的pinv函数进行求解， 注：inv函数只接受方阵作为输入矩阵，而pinv函数则没有这个限制

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import numpy as np

# 创建一个矩阵
E = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用pinv函数计算广义逆矩阵
pseudoinv = np.linalg.pinv(E)
print (pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]

# 将原矩阵和得到的广义逆矩阵相乘
print (E * pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]

行列式

numpy.linalg模块中的det函数可以计算矩阵的行列式，求模

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import numpy as np

# 计算矩阵的行列式
F = np.mat("3 4;5 6")
# 使用det函数计算行列式
print (np.linalg.det(F))
# -2.0

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作者: lck
来源： https://zhuanlan.zhihu.com/p/65259880